Ce que disent les programmes officiels : complexes et trigonométrie

Nombres complexes et trigonométrie  

Contenus

• Formules d’addition et de duplication à partir du produit scalaire.
  
• Exponentielle imaginaire, notation e^iq. Relation fonctionnelle. Forme exponentielle d’un nombre complexe.
  
• Formules d'Euler : cos(q ) =  (e^iq + e^-iq )/2 , sin(q ) =  (e^iq - e^-iq )/2i.
• Formule de Moivre : cos(nq) + i sin(nq) = (cos(q) + i sin(q))ⁿ.

Capacités attendues

• Passer de la forme algébrique d’un nombre complexe à sa forme trigonométrique ou exponentielle et inversement.
• Effectuer des calculs sur des nombres complexes en choisissant une forme adaptée, en particulier dans le cadre de la résolution de problèmes.
• Utiliser les formules d’Euler et de Moivre pour transformer des expressions trigonométriques, dans des contextes divers (intégration, suites, etc.), calculer  des puissances de nombres complexes.

Démonstration

• Démonstration d’une des formules d’addition.
• Équations polynomiales

On utilise librement la notion de fonction polynôme à coefficients réels, plus simplement appelée polynôme. On admet que si une fonction polynôme est nulle, tous ses coefficients sont nuls.

Contenus

• Solutions complexes d’une équation du second degré à coefficients réels.
• Factorisation de zⁿ - aⁿ par z - a.
• Si P est un polynôme et P(a) = 0, factorisation de P par z - a.
• Un polynôme de degré n admet au plus n racines.

Capacités attendues

• Résoudre une équation polynomiale de degré 2 à coefficients réels.
• Résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est connue.
• Factoriser un polynôme dont une racine est connue.

Démonstrations

• Factorisation de zⁿ - aⁿ par z - a. Factorisation de P(z) par z - a si P(a) = 0.
• Le nombre de solutions d’une équation polynomiale est inférieur ou égal à son degré.

Problèmes possibles

• Racines carrées d’un nombre complexe, équation du second degré à coefficients complexes.
• Formules de Viète.
• Résolution par radicaux de l’équation de degré 3.